Matrixer ist ein Online-Rechner, der nicht nur mit reellen Zahlen, sondern auch über endlichen Körpern wie z.B. F3, F4 oder F8 rechnen kann. Wie der Name schon sagt, kann Matrixer zusätzlich auch mit Matrizen sowie Vektoren rechnen.

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Matrix in Zeilen-Stufen-Form:

Anleitung

Wie gebe ich einen mathematischen Ausdruck ein?

  • Gewöhnliche mathematische Ausdrücke: Wie bei jedem Taschenrechner:
    -5*(3+4.5)/6-5^3 steht für \(-5*(3+4.5)/6-5^3\)
  • Matrizen: Umgeben von geschweiften Klammern, Zeilen mit Semikolon und Spalten mit Komma getrennt.
    {1,2,3;4,5,6} steht für \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}\)
  • Vektoren: Umgeben von eckigen Klammern, Zeilen mit Komma getrennt.
    [1,2,3,4] steht für \(\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}\)
  • Elemente erweiterter Körper:
    F4-Elemente:
    EingabeElement
    0\(0\)
    1\(1\)
    a\(\alpha\)
    a+1\(\alpha+1\)
    F8-Elemente:
    EingabeElement
    0\(0\)
    1\(1\)
    b\(\beta\)
    1+b\(1+\beta\)
    bs\(\beta^2\)
    1+bs\(1+\beta^2\)
    b+bs\(\beta+\beta^2\)
    1+b+bs\(1+\beta+\beta^2\)
    F9-Elemente:
    EingabeElement
    0\(0\)
    1\(1\)
    -1\(-1\)
    j\(\iota\)
    j+1\(\iota+1\)
    j-1\(\iota-1\)
    -j\(-\iota\)
    -j+1\(-\iota+1\)
    -j-1\(-\iota-1\)
  • Leerzeichen sowie Groß- und Kleinschreibung sind egal. Du kannst Leerzeichen an beliebigen Stellen hinschreiben oder weglassen - es macht keinen Unterschied. Selbiges gilt für Großbuchstaben.

Was kann man mit Matrixer machen?

  • Auf Körpern rechnen:

    bs*(1+b+bs)-b \(=\beta^2*(1+\beta+\beta^2)-\beta = 1+\beta\)

    (a+1)^2 \(=(\alpha+1)^2 = \alpha\)

    Unterstütze Operationen sind Multiplikation *, Division /, Addition + Subtraktion - und Potenzieren ^.

    Beachte, dass Exponenten immer ganze Zahlen \(\geq\) 0 sein müssen, wenn auf endlichen Körpern gerechnet wird.

    \((\alpha+1)^2\) ist erlaubt, aber \((\alpha+1)^\alpha\) und \((\alpha+1)^{0.5}\) sind nicht erlaubt.

    Kommazahlen als Exponenten für reelle Zahlen sind allerdings erlaubt: \(4^{0.5} = \sqrt{4} = 2\)

  • Multiplizieren, addieren, subtrahieren und potenzieren von Matrizen:

    Z.B. in F5: {0,4,3;1,2,4}*{1,3;0,2;4,2} \(=\begin{pmatrix}0&4&3\\1&2&4\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1&3\\0&2\\4&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&4\\2&0\end{pmatrix}\)

    Z.B. in F4: {a,a+1;0,1}+{0,1;a,a} \(=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha+1\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\\alpha&\alpha\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha&\alpha\\\alpha&\alpha+1\end{pmatrix}\)

  • Matrizen mit Vektoren multiplizieren:

    Z.B. in F5: {0,4,3;1,2,4}*[1,0,4] \(=\begin{pmatrix}0&4&3\\1&2&4\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\)

  • Matrizen mit Konstanten multiplizieren:

    E.g. in F4: a*{1,1;1,1} \(=\alpha*\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha\\\alpha&\alpha\end{pmatrix}\)

  • Multiplizieren, addieren, subtrahieren und potenzieren von Vektoren:

    Z.B. in F3: [2,1,2]*[2,2,0] \(=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix} = 0\)

    Z.B. in R: [1,2,3]-[4,5,6] \(=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\-3\\-3\end{pmatrix}\)

  • Alles miteinander kombiniert:

    Z.B. in R: 3*(3+6)*{1,2,3;4,5,6}*[9,8,7] \(=3*(3+6)*\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}9 \\ 8 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1242\\3186\end{pmatrix}\)

  • Matrix in Zeilen-Stufen-Form umwandeln mittels Gauß-Algorithmus:

    Z.B. in R: rowreduce({1,2,3,4;5,6,7,8;9,0,1,2}) \(=rowreduce(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&0&1&2\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&-1\\0&0&1&2\end{pmatrix}\)

    Beachte, dass die runden Klammern um die Matrix nicht weggelassen werden dürfen.

  • Ein homogenes Gleichungssystem lösen:

    Ein homogenes Gleichungssystem ist definiert als \(A*x=0\) wobei \(A\) eine gegebene Matrix und \(x\) ein unbekannter Vektor ist.

    Z.B. in F9: solvehom({1,j,-j;1-j,0,-1}) \(=solvehom(\begin{pmatrix}1&\iota&-\iota\\1-\iota&0&-1\end{pmatrix})\) ergibt

    Aufspann:
    \[\langle\begin{pmatrix}-\iota-1\\-\iota-1\\1\end{pmatrix}\rangle\]
    Triviale Lösung:
    \[\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\]
    Matrix in Zeilen-Stufen-Form:
    \[\begin{pmatrix}1&0&\iota+1\\0&1&\iota+1\end{pmatrix}\]
  • Eine Matrix transponieren:

    Z.B. in R: transpose({1,2,3;4,5,6}) \(= transpose(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}\)

  • Das multiplikativ inverse Element einer Zahl berechnen:

    Das multiplikativ inverse Element \(y\) einer Zahl \(x\) ist definiert als \(x*y=1\).

    Z.B. in F4: multinverse(a) \(=multinverse(\alpha) = \alpha+1\)

    Z.B. in R: multinverse(2) \(=multinverse(2) = 0.5\)

  • Das additiv inverse Element einer Zahl berechnen:

    Das additiv inverse Element \(y\) einer Zahl \(x\) ist definiert als \(x+y=0\).

    Z.B. in F5: additiveinverse(2) \(=additiveinverse(2) = 3 \)

    Z.B. in R: additiveinverse(4) \(=additiveinverse(4) = -4\)

Was kann Matrixer nicht?

  • Berechnungen innerhalb von Matrizen oder Vektoren durchführen:

    Z.B. \(\begin{pmatrix}3*4&5+6\\2^2&7\end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix}3*4\\5-2\\4/3\end{pmatrix}\) sind nicht erlaubt.

    Beachte, dass man daher in Matrizen und Vektoren das F8-Element \(\beta^2\) nicht als b^2 schreiben kann. Verwende stattdessen bs.
    Ich weiß, dass das nicht ideal ist. Eventuell verbessere ich es später.
  • Funktionsoperatoren ohne runde Klammern verstehen:

    Funktionsoperatoren sind Operatoren mit dieser Struktur: meinoperator(irgendetwas)

    Zum Beispiel ist rowreduce({1,2;3,4}) erlaubt, aber rowreduce{1,2;3,4} ist nicht erlaubt, da die runden Klammern fehlen.

  • In Internet Explorer funktionieren.

    Das liegt an einer JavaScript-Inkompatibilität. Verwende stattdessen Chrome oder Firefox.

  • Etwas anderes fehlt noch?
    Wenn dir eine Funktion einfällt, die hilfreich sein könnte, dann lass es mich wissen. Vielleicht ergänze ich Matrixer dann um diese Funktion.